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Gigantes da Matemática Batalham sobre Prova Épica da Conjectura abc

Por Ana Paula Chaves.

Dois matemáticos, Scholze (Fields 2018) e Stix, descobriram que o que dizem ser uma falha no "coração" de uma prova que convulsionou a comunidade matemática por quase seis anos.

Em um relatório publicado online hoje, Peter Scholze, da Universidade de Bonn, e Jakob Stix, da Goethe University Frankfurt, descrevem o que Stix chama de "lacuna séria e indetectável" em uma série de artigos de Shinichi Mochizuki, matemático da Universidade de Kyoto. por seu brilhantismo. Postado online em 2012, os documentos de Mochizuki supostamente provam a conjectura abc, um dos problemas de maior alcance na teoria dos números.

Apesar de várias conferências dedicadas a explicar a prova de Mochizuki, os teóricos dos números têm lutado para lidar com suas ideias subjacentes. Sua série de artigos, que totalizam mais de 500 páginas, são escritos em um estilo impenetrável, e referem-se a mais de 500 páginas do trabalho anterior de Mochizuki, criando o que um matemático, Brian Conrad, da Universidade de Stanford, chamou de sentido de regressão infinita.

Entre 12 e 18 matemáticos que estudaram a prova em profundidade acreditam que está correto, escreveu Ivan Fesenko, da Universidade de Nottingham, em um e-mail. Mas apenas matemáticos na "órbita de Mochizuki" garantiram a correção da prova, comentou Conrad em uma discussão no blog em dezembro passado. "Não há mais ninguém lá fora que esteja disposto a dizer, mesmo sem registro, que eles estão confiantes de que a prova está completa."

No entanto, escreveu Frank Calegari, da Universidade de Chicago, em um post de dezembro, “os matemáticos são muito relutantes em afirmar que há um problema com o argumento de Mochizuki porque eles não podem apontar para nenhum erro definitivo”.

Isso agora mudou. Em seu relatório, Scholze e Stix argumentam que uma linha de raciocínio perto do fim da prova do “Corolário 3.12” no terceiro de quatro artigos de Mochizuki é fundamentalmente falho. O corolário é central para a prova abc proposta de Mochizuki.

"Eu acho que a conjectura abc ainda está em aberto", disse Scholze. "Qualquer um tem a chance de provar isso."


Peter Scholze foi premiado com a Medalha Fields no início deste mês.

Nyani Quarmyne pela revista Quanta
As conclusões de Scholze e Stix se baseiam não apenas em seu próprio estudo dos artigos, mas também em uma visita de uma semana que eles pagaram a Mochizuki e seu colega Yuichiro Hoshi em março na Universidade de Kyoto para discutir a prova. Essa visita ajudou enormemente, disse Scholze, ao destilar suas objeções e Stix à sua essência. O par "chegou à conclusão de que não há provas", escreveram em seu relatório.
Mas a reunião levou a uma conclusão estranhamente insatisfatória: Mochizuki não conseguiu convencer Scholze e Stix de que seu argumento era sólido, mas eles não conseguiam convencê-lo de que era um problema. Mochizuki postou agora o relatório de Scholze e Stix em seu site, juntamente com vários relatórios próprios em refutação. (Mochizuki e Hoshi não responderam aos pedidos de comentários para este artigo.)

Em sua refutação, Mochizuki atribui as críticas de Scholze e Stix a “certos equívocos fundamentais” sobre seu trabalho. Sua "posição negativa", escreveu ele, "não implica a existência de quaisquer falhas" em sua teoria.

Assim como a alta reputação de Mochizuki fez os matemáticos verem seu trabalho como uma tentativa séria para a conjectura abc, a estatura de Scholze e Stix garante que os matemáticos prestarão atenção ao que eles têm a dizer. Apesar de apenas 30 anos, Scholze subiu rapidamente para o topo de seu campo. Ele foi premiado com a Medalha Fields, a maior honra da matemática, em agosto. Stix, enquanto isso, é um especialista na área particular de pesquisa de Mochizuki, um campo conhecido como geometria anabeliana.

"Peter e Jakob são matemáticos extremamente cuidadosos e atenciosos", disse Conrad. "Qualquer preocupação que eles tenham ... definitivamente merecem ser esclarecidos."

O ponto crítico

A conjectura abc, que Conrad chamou de "uma das conjecturas pendentes na teoria dos números", começa com uma das equações mais simples imagináveis: a + b = c. Os três números a, b e c devem ser inteiros positivos, e eles não podem compartilhar nenhum fator primo comum - então, por exemplo, poderíamos considerar a equação 8 + 9 = 17, ou 5 + 16 = 21, mas não 6 + 9 = 15, já que 6, 9 e 15 são todos divisíveis por 3.

Dada tal equação, podemos observar todos os primos que dividem qualquer um dos três números - assim, por exemplo, para a equação 5 + 16 = 21, nossos primos são 5, 2, 3 e 7. Multiplicá-los juntos produz 210 , um número muito maior do que qualquer um dos números da equação original. Em contraste, para a equação 5 + 27 = 32, cujos primos são 5, 3 e 2, o produto primário é 30 - um número menor do que o 32 na equação original. O produto sai tão pequeno porque 27 e 32 têm apenas pequenos fatores primos (3 e 2, respectivamente) que se repetem muitas vezes para torná-los.

Se você começar a brincar com outros trios abc, verá que esse segundo cenário é extremamente raro. Por exemplo, entre os 3.044 triplos diferentes que você pode fazer em que aeb estão entre 1 e 100, existem apenas sete nos quais o produto de primos é menor que c. A conjectura abc, que foi formulada pela primeira vez na década de 1980, codifica a intuição de que esse tipo de triplo quase nunca acontece. Mais especificamente, voltando ao exemplo 5 + 27 = 32, 32 é maior que 30, mas apenas um pouco. É menor que 302 ou 301,5 ou 301,02, o que equivale a 32,11. A conjectura abc diz que se você escolher qualquer expoente maior que 1, então há apenas muitos trechos abc em que c é maior que o produto dos fatores primos levantados para o seu expoente escolhido. “A conjectura abc é uma declaração muito elementar sobre multiplicação e adição ”, disse Minhyong Kim, da Universidade de Oxford. É o tipo de afirmação, ele disse, onde “você sente que está revelando algum tipo de estrutura muito fundamental sobre os sistemas numéricos em geral que você não tinha visto antes.” E a simplicidade da equação a + b = c significa que uma ampla gama de outros problemas cai sob o domínio da conjectura. Por exemplo, o último teorema de Fermat é sobre equações da forma xn + yn = zn, e a conjectura de Catalan, que diz que 8 e 9 são as únicas duas potências perfeitas consecutivas (desde 8 = 23 e 9 = 32), é sobre a equação xm + 1 = yn. A conjectura abc (em certas formas) ofereceria novas provas desses dois teoremas e resolveria uma série de problemas abertos relacionados. Jakob Stix é um especialista em geometria anabeliana, o campo da matemática no qual o trabalho de Mochizuki ocorre.Copyright: MFOA conjectura “ sempre parece estar na fronteira entre o que é conhecido e o que é desconhecido ”, escreveu Dorian Goldfeld, da Universidade de Columbia. A riqueza de conseqüências que resultariam de uma prova da conjectura tinha convencido teóricos de números que provavam que a conjetura era provável seja muito duro. Então quando a notícia se espalhou em 2012 que Mochizuki apresentou uma prova, muitos teóricos dos números mergulharam entusiasticamente em seu trabalho - apenas para serem frustrados pela linguagem desconhecida e pela apresentação incomum. As definições continuaram por páginas, seguidas por teoremas cujas declarações foram igualmente longas, mas cujas provas apenas diziam, essencialmente, “isso decorre imediatamente das definições”. “Cada vez que ouço uma análise dos documentos de Mochizuki por um especialista (off the record) o relatório é perturbadoramente familiar: vastos campos de trivialidades seguidos por um enorme precipício de conclusões injustificadas ”, escreveu Calegari em seu post no blog de dezembro. Scholze foi um dos primeiros leitores do jornal. Conhecido por sua capacidade de absorver matemática rapidamente e profundamente, ele foi além do que muitos teóricos dos números, completando o que ele chamou de “leitura grosseira” dos quatro principais artigos pouco depois de terem saído. Scholze ficou confuso com os longos teoremas com suas pequenas provas, que lhe pareciam válidas, mas não substanciais. Nos dois jornais do meio, ele escreveu mais tarde, “muito pouco parece acontecer”. Então Scholze chegou ao Corolário 3.12 no terceiro artigo. Os matemáticos geralmente usam a palavra “corolário” para denotar um teorema que é uma conseqüência secundária de um teorema anterior, mais importante. Mas no caso do Corolário 3.12 de Mochizuki, os matemáticos concordam que está no centro da prova de abc. Sem ela, “não há prova alguma”, escreveu Calegari. “É um passo crítico.” Eu acho que a conjectura abc ainda está aberta. Qualquer um tem a chance de provar isso.Peter ScholzeEste corolário é o único teorema nos dois jornais do meio, cuja prova é mais do que algumas linhas - ele preenche nove páginas. Enquanto Scholze os leu, ele chegou a um ponto em que não conseguia acompanhar a lógica. Scholze, que tinha apenas 24 anos na época, acreditava que a prova era falha. Mas ele ficou principalmente fora das discussões sobre os jornais, exceto quando perguntado diretamente por seus pensamentos. Afinal de contas, ele pensou, talvez outros matemáticos encontrassem ideias significativas no jornal que ele havia perdido. Ou, talvez, acabariam chegando à mesma conclusão que ele. De um jeito ou de outro, ele pensou, a comunidade matemática certamente seria capaz de resolver as coisas.

Fonte: https://www.quantamagazine.org/titans-of-mathematics-clash-over-epic-proof-of-abc-conjecture-20180920/